Richard Courant (1888–1972), matemático alemão que trabalhou em Göttingen e depois fundou em Nova York o instituto que hoje leva o nome dele. O curso nasceu em alemão, como Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, e ficou conhecido em inglês como Differential and Integral Calculus, em dois volumes: o primeiro é o cálculo de uma variável; o segundo, o de várias variáveis e o que vem depois. A tradução inglesa saiu pela Blackie & Son e hoje é reeditada pela Wiley, na coleção Wiley Classics Library.
O que esta página é: um resumo escrito por mim. Os títulos dos capítulos foram conferidos nos dois volumes; o que está dentro de cada cartão é a minha descrição do assunto daquele capítulo, e os detalhes de cada seção podem ser organizados de outro jeito no livro. O texto do livro não está reproduzido aqui — nem trechos, nem exemplos, nem exercícios: a obra tem direitos autorais. Pra estudar por ele, procure o livro na biblioteca ou na editora.
O jeito do Courant
- A ideia antes da técnica. Cada assunto começa pela pergunta que ele responde — área, velocidade, aproximação — e só depois vira regra de conta.
- A integral vem junto com a derivada, cedo. O segundo capítulo apresenta as duas ideias fundamentais lado a lado e mostra que uma desfaz a outra, em vez de passar semanas só derivando.
- Rigor sem esconder a intuição. Os limites e a continuidade são tratados com cuidado, mas sempre com o desenho e o exemplo por perto; as demonstrações mais pesadas vão para os apêndices dos capítulos.
- Física e geometria o tempo todo. Curvas, mecânica, vibrações, campos: o cálculo aparece como a linguagem dessas coisas, não como matéria separada.
- Métodos numéricos e séries dentro do curso. Aproximar, estimar o erro e calcular de verdade fazem parte do conteúdo, não de um livro à parte.
volume I · uma variável
Observações introdutórias
Introductory Remarks
Por que estudar cálculo e com que atitude: o livro avisa que vai equilibrar intuição e rigor, e que o leitor não deve travar nos detalhes lógicos na primeira leitura.
Introdução
Introduction
O chão de tudo: os números reais vistos como um contínuo, o conceito de função e os tipos de função mais usados, a sequência que se aproxima de um valor, o limite de uma função e a continuidade. É onde se aprende o que quer dizer “chegar tão perto quanto se queira”.
no site: aula 01 · limite · Matemática 08 · função
As ideias fundamentais do cálculo integral e diferencial
The Fundamental Ideas of the Integral and Differential Calculus
A integral definida como área somada em fatias finas, a derivada como inclinação e taxa de variação, e o teorema fundamental que liga as duas: integrar e derivar são operações inversas. É o capítulo que dá sentido ao resto do volume.
no site: aula 02 · derivada · aula 05 · integral
Derivação e integração das funções elementares
Differentiation and Integration of the Elementary Functions
As regras de derivar (soma, produto, quociente, cadeia, função inversa) aplicadas às funções que aparecem sempre: potências, trigonométricas e suas inversas, exponencial e logaritmo, hiperbólicas. Junto de cada derivada, a integral que ela devolve.
no site: aula 03 · regras de derivar · Matemática 09 · exponencial
Desenvolvimento do cálculo integral
Further Development of the Integral Calculus
As técnicas pra achar primitivas — substituição, integração por partes, frações parciais — e o que fazer quando a integral é imprópria (intervalo infinito ou função que explode). Também as integrais que não se escrevem com funções elementares.
no site: aula 06 · substituição e por partes
Aplicações
Applications
O cálculo usado em geometria e mecânica: curvas em forma paramétrica, comprimento de arco, curvatura, áreas e volumes, centro de massa e momento de inércia, e o movimento de uma partícula sob forças.
no site: aula 04 · máximo e mínimo · aula 15 · centro de massa e inércia
O teorema de Taylor e a aproximação de funções por polinômios
Taylor's Theorem and the Approximate Expression of Functions by Polynomials
Trocar uma função complicada por um polinômio que imita o valor e as derivadas num ponto, e — o mais importante — saber quanto se erra fazendo isso, pelo termo do resto.
no site: aula 08 · Taylor
Métodos numéricos
Numerical Methods
Como calcular de verdade o que as fórmulas não entregam: integração aproximada (retângulos, trapézios, Simpson), resolução aproximada de equações e o controle do erro de cada método.
no site: a ideia de somar retângulos e ver o erro cair aparece nos desenhos da aula 05 e da aula 15
Séries infinitas e outros processos de limite
Infinite Series and Other Limiting Processes
Quando uma soma infinita converge, os testes de convergência, a diferença entre convergência simples e uniforme, as séries de potências e como elas representam funções — com um primeiro contato com funções de variável complexa.
no site: aula 08 · séries de Taylor
Séries de Fourier
Fourier Series
Escrever uma função periódica como soma de senos e cossenos: como achar os coeficientes, quando a série converge, e por que isso é a base pra estudar sinais, som e vibração.
no site: aula 16 · Série de Fourier: a onda quadrada feita de senos
Um esboço da teoria das funções de várias variáveis
A Sketch of the Theory of Functions of Several Variables
Uma prévia do volume II: funções de duas ou mais variáveis, derivadas parciais e as primeiras integrais duplas, pra o leitor chegar ao segundo volume já com a ideia na cabeça.
no site: aula 09 · derivada parcial · aula 10 · integral dupla
As equações diferenciais dos tipos mais simples de vibração
The Differential Equations for the Simplest Types of Vibration
O fecho do volume junta derivada, exponencial e trigonometria: a mola e o pêndulo pequeno, a vibração amortecida e a forçada, e a ressonância — resolvidos como equações diferenciais.
no site: aula 07 · equação diferencial no circuito RL · a sala de Vibração
volume II · várias variáveis e além
Observações preliminares de geometria analítica e análise vetorial
Preliminary Remarks on Analytical Geometry and Vector Analysis
As ferramentas do espaço: coordenadas, vetores e direções, produto escalar e vetorial, retas e planos, e a mudança de sistema de coordenadas. É o vocabulário do volume inteiro.
no site: aula 11 · campo vetorial
Funções de várias variáveis e suas derivadas
Functions of Several Variables and their Derivatives
Limite e continuidade no plano e no espaço, derivadas parciais, diferencial total e diferenciabilidade, derivada direcional, regra da cadeia e a troca de variáveis. Um apêndice cuida das demonstrações mais delicadas.
no site: aula 09 · aula 14 · limite por caminhos, gradiente, cadeia
Desenvolvimentos e aplicações do cálculo diferencial
Developments and Applications of the Differential Calculus
Funções implícitas e o jacobiano, curvas e superfícies definidas implicitamente, Taylor em várias variáveis, máximos e mínimos — livres e com restrição, pelos multiplicadores de Lagrange.
Integrais múltiplas
Multiple Integrals
A integral dupla e a tripla como limite de somas, o cálculo por integrais repetidas, a mudança de variáveis com o jacobiano, integrais impróprias em várias variáveis e as aplicações a volume, massa e momentos.
no site: aula 10 · aula 12 · o jacobiano · aula 15 · duplas e triplas
Integração sobre regiões em várias dimensões
Integration over Regions in Several Dimensions
Integrais de linha e de superfície, e os teoremas que trocam uma pela outra — Green no plano, Gauss (divergência) e Stokes no espaço —, com a leitura física de fluxo e circulação.
no site: aula 11 · circulação · aula 13 · divergente e rotacional
Equações diferenciais
Differential Equations
Depois dos casos especiais do volume I, a teoria mais geral: equações de primeira ordem e seus métodos, equações lineares, sistemas, e os primeiros encontros com equações diferenciais parciais da física.
no site: aula 07 · equação diferencial
Cálculo das variações
Calculus of Variations
Em vez do ponto que torna uma função mínima, a curva ou a função que torna mínima uma integral. A condição necessária é a equação de Euler–Lagrange; é a matemática por trás de caminhos mais curtos, formas de equilíbrio e princípios da mecânica.
no site: ainda não tem aula
Funções de uma variável complexa
Functions of a Complex Variable
Retoma o primeiro contato do volume I: funções analíticas, as condições de Cauchy–Riemann, a integral no plano complexo e o teorema de Cauchy, e as séries de potências nesse mundo — a base de muita engenharia elétrica.
no site: ainda não tem aula
Suplemento e apêndices
O volume II fecha com um suplemento, e os capítulos II, III e IV têm apêndices com as demonstrações e os casos mais técnicos — do mesmo jeito que vários capítulos do volume I.
Como ler o Courant sem travar
- Primeira passada: leia o texto principal de cada capítulo e pule os apêndices. O próprio livro foi organizado pra isso.
- Faça as contas junto: cada ideia do livro vem com um exemplo; refaça no caderno antes de seguir.
- Volte aos apêndices quando o curso pedir a demonstração — ou quando a dúvida “mas por que isso vale?” não deixar dormir.
- Use as aulas daqui como ponte: cada capítulo acima aponta a aula do site com o mesmo assunto, com desenho pra mexer e a conta inteira.
O Courant é o cálculo contado como uma história só: número e limite, derivada e integral juntas, técnicas, aplicações, aproximação, séries e Fourier no primeiro volume; vetores, várias variáveis, integrais múltiplas, Green–Gauss–Stokes, equações diferenciais, variações e complexos no segundo.