← Cálculo · Cálculo 2 · aula 07

Equação diferencial: o circuito RL

A lei das tensões do circuito com bobina tem uma derivada dentro. Resolver é separar as letras, integrar e descobrir a constante.

começar ↓

Equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função inteira. Ela conta como a coisa muda; resolver é descobrir a coisa.

A bobina segura a corrente

Liga uma bateria V num resistor R em série com uma bobina L. A bobina reage à mudança de corrente com uma tensão L · di/dt. Somando as quedas pela lei de Kirchhoff:

L · di/dt + R · i = V

No meu caderno esta é a “página sem atalhos”: o aluno caça o di e o dt, taca a integral dos dois lados, faz o rascunho da substituição no canto e briga com os sinais até o fim. Aqui vai a mesma página, com cada passo à vista.

Quadro-negro do João com a conta do circuito RL passo a passo, da lei das tensões até i(t) = V/R vezes (1 − e elevado a −Rt/L)
A página no meu quadro: em cima, a primeira tentativa com todos os rascunhos; embaixo, a versão limpa que termina em i(t) = V/R · (1 − e−Rt/L).

cálculo completo · a corrente do circuito RL

  1. O que eu quero saber

    A corrente i(t) depois de ligar, e depois com V = 12 V, R = 4 Ω e L = 2 H.

  2. O que eu já sei
    • L di/dt + Ri = V
    • no instante de ligar: i(0) = 0
    • du ÷ u integra em ln u
  3. Passo 1 · separar

    L di/dt = V − Ri  →  di ÷ (V − Ri) = dt ÷ L

  4. Passo 2 · integrar

    com u = V − Ri e du = −R di:  −(1/R) ln(V − Ri) = t/L + C

  5. Passo 3 · isolar o ln

    ln(V − Ri) = −Rt/L + C₂  →  V − Ri = K · e−Rt/L

  6. Passo 4 · achar o K

    em t = 0, i = 0: V − 0 = K · 1  →  K = V

  7. Passo 5 · isolar o i

    Ri = V − Ve−Rt/L  →  i(t) = (V/R) · (1 − e−Rt/L)

  8. Passo 6 · os números

    V/R = 12 ÷ 4 = 3 A · τ = L/R = 2 ÷ 4 = 0,5 s

    i(0,5) = 3 · (1 − e−1) = 3 · 0,632 = 1,896 A

i(t) = 3 · (1 − e−2t) ampères · em uma constante de tempo já tem 63 % dos 3 A

Confere: em t = 0, di/dt = V/L = 6 A/s; na equação: 2 · 6 + 4 · 0 = 12 ✓

A corrente subindo

arrasta R e L · bateria de 12 V · o ponto verde marca uma constante de tempo

o erro no meu caderno

Achei que no instante de ligar a corrente já pulava pra V/R = 3 A.

a correção

A bobina não deixa a corrente pular: em t = 0 ela é 0, e é essa condição que dá o K. Os 3 A são o fim da história, quando di/dt já zerou e a bobina virou um fio.

A regra de bolso do técnico

τ = L/R. Em 1 τ a corrente chega a 63 %; em 3 τ, 95 %; em 5 τ, 99,3 %. Na prática, depois de 5 constantes de tempo o circuito está no regime.

pra treinar
  1. τ com L = 0,1 H e R = 10 Ω
  2. a corrente final com V = 24 V e R = 6 Ω
  3. quantos % da corrente final em 2 τ
  4. di/dt em t = 0 com V = 12 V e L = 2 H
ver as respostas0,01 s · 4 A · 1 − e−2 = 86,5 % · 6 A/s
pra levar

Separa as letras, integra os dois lados, e a constante sai da condição inicial. No RL a corrente sobe de 0 até V/R, e τ = L/R diz o ritmo.

Cálculo 2 · aula 07 · o caderno é do João; os desenhos interativos, os cálculos completos e as correções marcadas entraram na arrumação pro site