Substituição é a regra da cadeia andando pra trás: acho um bolo cuja derivada já está do lado, chamo o bolo de u e a integral vira guincho simples.
Chamar o bolo de u
Em ∫ 2x(x² + 1)³ dx, o bolo é x² + 1, e a derivada dele, 2x, está ali multiplicando. É o sinal de que a substituição encaixa — do mesmo jeito que, no circuito RL do meu caderno, fiz uma caixa no canto da folha pra chamar o bolo de baixo de u.
cálculo completo · ∫ de 0 a 1 de 2x(x² + 1)³ dx
- O que eu quero saber
A área debaixo de 2x(x² + 1)³ entre 0 e 1.
- O que eu já sei
- bolo: u = x² + 1
- derivando: du = 2x dx
- guincho: ∫ u³ du = u⁴ ÷ 4
- Passo 1 · trocar
∫ 2x(x² + 1)³ dx = ∫ u³ du
- Passo 2 · guincho
∫ u³ du = u⁴ ÷ 4
- Passo 3 · devolver o x
F(x) = (x² + 1)⁴ ÷ 4
- Passo 4 · fim menos começo
F(1) = 2⁴ ÷ 4 = 16 ÷ 4 = 4 · F(0) = 1⁴ ÷ 4 = 0,25
4 − 0,25 = 3,75
a área é 3,75
Confere: derivando (x² + 1)⁴ ÷ 4 pela cadeia: 4(x² + 1)³ · 2x ÷ 4 = 2x(x² + 1)³ ✓
A área crescendo
arrasta até onde vai a área · o número da soma de fatias e o da fórmula têm que bater
Fiz ∫ (x² + 1)³ dx = (x² + 1)⁴ ÷ 4, sem o 2x na frente.
Sem o 2x não existe o du pra trocar, e a substituição não encaixa. Derivando o que escrevi sai 2x(x² + 1)³, não (x² + 1)³. Nesse caso o jeito é abrir o cubo e integrar parcela por parcela.
Por partes: dividir o serviço
Quando são duas máquinas diferentes multiplicando — um x e uma exponencial —, uso a regra do produto andando pra trás:
Em ∫ x ex dx: escolho u = x (que derivando some) e dv = ex dx. Então du = dx e v = ex:
De 0 a 1: (e − e) − (0 − 1) = 1. A escolha do u é a do pedaço que fica mais simples quando derivado.
- ∫ 3x²(x³ + 2)⁵ dx
- ∫ cos(5x) dx
- ∫01 2x(x² + 1) dx
- ∫ x cos x dx
ver as respostas
(x³ + 2)⁶ ÷ 6 + C · sen(5x) ÷ 5 + C · (x² + 1)² ÷ 2 de 0 a 1 = 2 − 0,5 = 1,5 · x sen x + cos x + CSe a derivada do bolo está multiplicando, chama o bolo de u. Se são duas máquinas diferentes, por partes: u · v menos ∫ v du. E sempre confere derivando a resposta.