A integral soma pedaços. Área debaixo da curva de potência é energia; debaixo da curva de corrente é carga.
Retângulos debaixo da curva
Com potência constante é fácil: um chuveiro de 5 500 W ligado 0,25 h gasta 5 500 × 0,25 = 1 375 Wh — a área de um retângulo. Quando a curva muda, corto a área em fatias estreitas, trato cada uma como retângulo e somo. Quanto mais fatias, menor o erro.
Fatias debaixo de f(x) = x²
arrasta o número de fatias · a área certa, de 0 a 3, é 9
O atalho: o guincho
Somar mil fatias à mão ninguém faz. O teorema fundamental do cálculo diz que a área de a até b é só a diferença de uma função cuja derivada é a curva. Achar essa função é o guincho da aula do tombo e do guincho: o telhado ganha um e o trator é dividido pelo telhado novo.
cálculo completo · a área debaixo de x² de 0 a 3
- O que eu quero saber
∫03 x² dx — a área entre a curva e o eixo, de 0 a 3.
- O que eu já sei
- guincho: ∫ xn dx = xn+1 ÷ (n + 1)
- área = F(3) − F(0)
- Passo 1 · o guincho
telhado 2 + 1 = 3 → F(x) = x³ ÷ 3
- Passo 2 · no fim
F(3) = 27 ÷ 3 = 9
- Passo 3 · no começo
F(0) = 0 ÷ 3 = 0
- Passo 4 · subtrair
9 − 0 = 9
a área é 9
Confere: com 6 fatias pela esquerda dá 6,875 e pela direita 11,375 — o 9 está entre as duas ✓
Na bancada: carga que passou
Uma corrente que cresce como i(t) = 2t ampères durante 3 segundos. A carga que passou pelo fio é a área debaixo dela:
Calculei ∫ de 1 a 3 de x² e escrevi 27 ÷ 3 = 9.
Esqueci de subtrair o começo. O intervalo começa em 1, não em 0: 9 − 1³ ÷ 3 = 9 − 0,333 = 8,667 (ou 26 ÷ 3). O F(a) só some quando ele vale zero.
- ∫02 3x² dx
- ∫04 2x dx
- ∫12 x dx
- a energia de um aparelho de 2 000 W ligado 3 h
- ∫ 30x² dx (sem limites)
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8 · 16 · 2 − 0,5 = 1,5 · 6 000 Wh = 6 kWh · 10x³ + CIntegral é somar fatias até o erro sumir. Na prática, acha a função do guincho e faz fim menos começo — sem esquecer o começo.