A série de Taylor troca uma função difícil por uma soma de potências que o CLP, a calculadora e a cabeça sabem fazer.
Copiar a curva termo por termo
Perto do 0, o polinômio copia o valor da função, depois a inclinação, depois a curvatura, e assim por diante — cada derivada vira um termo:
O polinômio imitando o seno
arrasta o número de termos · a curva laranja gruda na azul cada vez mais longe do zero
cálculo completo · e elevado a 0,1 sem calculadora
- O que eu quero saber
Quanto vale e0,1, com 4 termos da série.
- O que eu já sei
- ex ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6
- x = 0,1
- Passo 1 · os dois primeiros
1 + 0,1 = 1,1
- Passo 2 · o quadrado
0,1² ÷ 2 = 0,01 ÷ 2 = 0,005
- Passo 3 · o cubo
0,1³ ÷ 6 = 0,001 ÷ 6 = 0,0001667
- Passo 4 · somar
1,1 + 0,005 + 0,0001667 = 1,1051667
e0,1 ≈ 1,10517
Confere: a calculadora dá 1,1051709; o erro é 0,000004 ✓
Na bancada: o pêndulo e o arranque
Com ângulo pequeno, sen θ ≈ θ: a equação do pêndulo vira uma que tem resposta fácil, e o período fica independente da amplitude. E e−t ≈ 1 − t no começo explica por que o capacitor e a bobina começam subindo quase em linha reta.
Usei sen θ ≈ θ com θ = 10 e escrevi sen 10° ≈ 10.
A série só vale em radianos. 10° = 10 × π ÷ 180 = 0,1745 rad, então sen 10° ≈ 0,1745 − 0,1745³ ÷ 6 = 0,17365. A calculadora dá 0,173648 ✓.
- cos 0,2 usando cos x ≈ 1 − x²/2
- e0,2 com 3 termos
- sen 0,05 com 1 termo
- 5° em radianos
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0,98 (a calculadora: 0,980067) · 1 + 0,2 + 0,02 = 1,22 (real: 1,2214) · 0,05 (real: 0,049979) · 0,0873 radTaylor copia a função com potências: valor, inclinação, curvatura… Perto do ponto, poucos termos bastam. E ângulo entra sempre em radiano.