A definição prova as regras uma vez; depois eu uso as regras. O tombo do expoente resolve quase tudo que é polinômio.
O tombo (regra da potência)
No meu caderno: em 10x³, o telhado 3 tomba e bate no trator 10, dando 30; o telhado perde um parafuso e vira 2.
A curva e o velocímetro dela
arrasta o trator a, o telhado n e o ponto · a altura do ponto verde é a inclinação da curva azul
Soma, constante sozinha e número multiplicando
- Cada parcela se deriva separada: (x³ + x²)′ = 3x² + 2x.
- Número sozinho não muda, então a derivada dele é 0: (7)′ = 0.
- O número multiplicando espera do lado de fora: (5x)′ = 5.
cálculo completo · a derivada de f(x) = 4x³ − 6x² + 5x − 7 e o valor em x = 2
- O que eu quero saber
f′(x) e quanto a curva sobe por passo em x = 2.
- O que eu já sei
- tombo: (axn)′ = naxn−1
- cada parcela separada
- constante sozinha vira 0
- Passo 1 · 4x³
3 · 4 = 12 → 12x²
- Passo 2 · −6x²
2 · (−6) = −12 → −12x
- Passo 3 · 5x e −7
5x vira 5 · −7 vira 0
- Passo 4 · juntar
f′(x) = 12x² − 12x + 5
- Passo 5 · em x = 2
12 · 4 − 12 · 2 + 5 = 48 − 24 + 5 = 29
f′(2) = 29
Confere: f(2,001) = 11,029018 e f(1,999) = 10,971018 → (11,029018 − 10,971018) ÷ 0,002 = 29,000 ✓
A cadeia: máquina dentro de máquina
Quando tem uma máquina dentro da outra, derivo a de fora (deixando a de dentro quieta) e multiplico pela derivada da de dentro. A tensão da tomada de 220 V tem pico de 311 V e gira 377 radianos por segundo:
Quando a senoide cruza o zero, a tensão muda a mais de cem mil volts por segundo. É por isso que um capacitor na rede puxa corrente mesmo sem nada ligado: a corrente dele segue essa derivada.
Derivei (3x + 1)² e escrevi 2(3x + 1).
Faltou multiplicar pela derivada de dentro: (3x + 1)′ = 3. O certo é 2(3x + 1) · 3 = 6(3x + 1). Conferindo: (3x + 1)² = 9x² + 6x + 1, que deriva em 18x + 6 = 6(3x + 1) ✓.
- (7x⁴)′
- (x³ − 5x + 2)′ em x = 1
- (2x + 5)³ derivada
- (sen 2x)′
- a derivada de 100 (uma tensão constante)
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28x³ · 3 − 5 = −2 · 3(2x + 5)² · 2 = 6(2x + 5)² · 2 cos 2x · 0O telhado tomba e perde um. Parcela se deriva separada, número sozinho some. E na cadeia, sempre a derivada de fora vezes a derivada de dentro.