No ITA, o Cálculo de várias variáveis é a disciplina MAT-22 · Cálculo Diferencial e Integral II. A ementa oficial cobre: funções de várias variáveis e noções de topologia no Rn, limite e continuidade, derivadas direcionais e parciais, gradiente, derivadas de ordem superior, diferenciabilidade e matriz jacobiana, regra da cadeia, conjuntos de nível, teoremas da função implícita e da inversa, fórmula de Taylor com máximos, mínimos e pontos de sela, multiplicadores de Lagrange, e integrais duplas e triplas. A bibliografia indicada é Apostol (Calculus, vol. 2), Stewart (Cálculo, vol. II) e Guidorizzi (Um curso de cálculo, vol. 2 e 3).
Os exemplos abaixo são meus, do tipo clássico que esses livros trazem, no nível dessa ementa. Não são questões de prova do ITA: as provas da MAT-22 não estão publicadas, e o vestibular do ITA não cobra cálculo. As integrais estão na aula 15.
ementa e bibliografia: página oficial da disciplina MAT-22 no site do ITA (ita.br/ocw/mat22). Todas as respostas desta aula foram conferidas numericamente antes de publicar.
1 · Limite em duas variáveis: o caminho muda a resposta
Em uma variável só existem dois lados pra chegar. No plano, existem infinitos caminhos — e o limite só existe se todos derem o mesmo valor. Pra mostrar que não existe, bastam dois caminhos com valores diferentes. Pra mostrar que existe, caminhos não bastam: é preciso uma desigualdade que valha pra qualquer jeito de chegar.
Chegar em (0, 0) por caminhos diferentes
escolha a função e o caminho · mova o m · a tabela mostra a função cada vez mais perto da origem
exemplo 1.1 · lim xy/(x² + y²) quando (x, y) → (0, 0)
- Caminho 1 · pela reta y = 0
f(x, 0) = 0/x² = 0
- Caminho 2 · pela reta y = x
f(x, x) = x²/(2x²) = 1/2
- Toda reta y = mx
mx²/(x² + m²x²) = m/(1 + m²) — muda com a reta
dois caminhos, dois valores: o limite não existe
exemplo 1.2 · lim x²y/(x² + y²) quando (x, y) → (0, 0)
- Passar pra polares
x = r cos θ, y = r sen θ → x²y/(x² + y²) = r³ cos²θ sen θ / r² = r cos²θ sen θ
- Prender com uma desigualdade
|cos²θ sen θ| ≤ 1 → |f| ≤ r → 0, qualquer que seja θ, e mesmo que θ mude durante o caminho
o limite existe e vale 0
Confere: f(0,0001; −0,0003) ≈ −0,00003 ✓ · repare que o argumento não usou caminho nenhum: foi a desigualdade que fechou
exemplo 1.3 · a armadilha: x²y/(x⁴ + y²) dá 0 em toda reta e mesmo assim não tem limite
- Toda reta y = mx
mx³/(x⁴ + m²x²) = mx/(x² + m²) → 0 (e em x = 0, a função também é 0)
- A parábola y = x²
x² · x²/(x⁴ + x⁴) = 1/2, pra todo x ≠ 0
todas as retas dão 0, a parábola dá 1/2: o limite não existe
A lição de prova: testar só retas e concluir “existe” é erro. No desenho de cima, escolha esta função e troque pra parábola.
2 · Derivada direcional e gradiente
A derivada direcional é a taxa de variação andando numa direção: Duf = ∇f · u, com u unitário. O gradiente aponta pra onde f cresce mais rápido, e o tamanho dele é essa taxa máxima.
exemplo 2.1 · f(x, y) = x² + 3xy no ponto (1, 2), na direção de v = (3, 4)
- O gradiente
∇f = (2x + 3y, 3x) → em (1, 2): (8, 3)
- Tornar a direção unitária
|v| = √(9 + 16) = 5 → u = (3/5, 4/5)
- Produto escalar
Duf = 8 · 3/5 + 3 · 4/5 = 24/5 + 12/5 = 36/5 = 7,2
- A maior taxa possível
|∇f| = √(64 + 9) = √73 ≈ 8,544, na direção de (8, 3)
Duf = 7,2 · taxa máxima √73 ≈ 8,54
A armadilha: sem dividir por |v|, sai ∇f · v = 36 — cinco vezes maior. Confere: 7,2 ≤ 8,544 ✓ (nenhuma direção passa da taxa máxima) · derivada numérica andando 10⁻⁶ na direção u: 7,2000 ✓
exemplo 2.2 · o plano tangente a z = x² + y² em (1, 1, 2)
- As parciais no ponto
zx = 2x = 2 · zy = 2y = 2
- O plano
z = 2 + 2(x − 1) + 2(y − 1) = 2x + 2y − 2
z = 2x + 2y − 2
Confere: no ponto (1, 1), o plano dá 2 = z da superfície ✓
exemplo 2.3 · a placa quente: T(x, y) = 100 − x² − 2y² °C, no ponto (2, 1)
- O gradiente
∇T = (−2x, −4y) → em (2, 1): (−4, −4)
- Esquentar mais rápido
na direção de ∇T = (−4, −4): rumo à origem
- Esfriar mais rápido
na direção de −∇T = (4, 4), a |∇T| = 4√2 ≈ 5,66 °C por metro
esfria mais rápido andando na direção (1, 1)/√2, a 5,66 °C/m
3 · As parciais existem, e a função não é diferenciável
exemplo 3.1 · f(x, y) = xy/(x² + y²) fora da origem, f(0, 0) = 0
- Parcial em x na origem, pela definição
fx(0, 0) = lim [f(h, 0) − f(0, 0)]/h = lim (0 − 0)/h = 0
- Parcial em y, igual
fy(0, 0) = 0
- Mas não é contínua
pelo exemplo 1.1, o limite na origem nem existe
as duas parciais existem e f não é diferenciável em (0, 0)
Os dois fatos que a prova cobra: diferenciável ⇒ contínua (então “não contínua” já mata a diferenciabilidade); e parciais contínuas perto do ponto ⇒ diferenciável. Só existirem não basta.
4 · Matriz jacobiana e regra da cadeia
exemplo 4.1 · z = x²y com x = t² e y = sen t
- A árvore
dz/dt = zx · dx/dt + zy · dy/dt
- As peças
- zx = 2xy · zy = x²
- dx/dt = 2t · dy/dt = cos t
- Juntar e voltar pra t
2t² sen t · 2t + t⁴ · cos t = 4t³ sen t + t⁴ cos t
dz/dt = 4t³ sen t + t⁴ cos t
Confere: substituindo antes, z = t⁴ sen t, e a regra do produto dá o mesmo ✓ · em t = 1,3, derivada numérica = 9,23175 = fórmula ✓
exemplo 4.2 · a regra da cadeia em polares
- w = f(x, y), com x = r cos θ e y = r sen θ
- wr = fx cos θ + fy sen θ
- wθ = −fx r sen θ + fy r cos θ
- Testar com f = x² + y²
wr = 2x cos θ + 2y sen θ = 2r cos²θ + 2r sen²θ = 2r · wθ = 0
bate com w = r²: cresce com o raio e não muda girando ✓
exemplo 4.3 · a jacobiana de F(u, v) = (u² − v², 2uv) em (1, 1)
- A matriz das derivadas
[ 2u −2v ; 2v 2u ] → em (1, 1): [ 2 −2 ; 2 2 ]
- O determinante
2 · 2 − (−2) · 2 = 8
det J = 8: perto de (1, 1), a transformação aumenta áreas 8 vezes
Confere pela fórmula geral: det = 4u² + 4v² = 4 · (1 + 1) = 8 ✓
5 · Função implícita
Se F(x, y) = 0 define y como função de x perto de um ponto onde Fy ≠ 0, então dy/dx = −Fx/Fy. A condição Fy ≠ 0 não é detalhe: no círculo x² + y² = 1, no ponto (1, 0), Fy = 0 e a tangente é vertical — ali y não é função de x.
exemplo 5.1 · a folha de Descartes x³ + y³ = 6xy, no ponto (3, 3)
- O ponto está na curva?
27 + 27 = 54 = 6 · 9 ✓
- As parciais
Fx = 3x² − 6y = 27 − 18 = 9 · Fy = 3y² − 6x = 9 ≠ 0
- A derivada
dy/dx = −9/9 = −1
dy/dx = −1 em (3, 3)
exemplo 5.2 · z implícito na esfera x² + y² + z² = 14, no ponto (1, 2, 3)
- As fórmulas
∂z/∂x = −Fx/Fz · ∂z/∂y = −Fy/Fz
- No ponto
∂z/∂x = −2/6 = −1/3 · ∂z/∂y = −4/6 = −2/3
−1/3 e −2/3 · confere: 1 + 4 + 9 = 14 ✓
6 · Taylor, hessiana e pontos de sela
Perto de um ponto crítico, f ≈ f(a) + ½ hT H h: quem decide é a hessiana. Com D = fxx fyy − fxy²: D > 0 e fxx > 0 é mínimo; D > 0 e fxx < 0 é máximo; D < 0 é sela; D = 0 não decide nada.
exemplo 6.1 · f(x, y) = x³ − 3x + y²
- Pontos críticos
∇f = (3x² − 3, 2y) = (0, 0) → (1, 0) e (−1, 0)
- Hessiana
fxx = 6x · fyy = 2 · fxy = 0 → D = 12x
- Em (1, 0)
D = 12 > 0, fxx = 6 > 0 → mínimo local, f = −2
- Em (−1, 0)
D = −12 < 0 → ponto de sela, f = 2
mínimo local em (1, 0) · sela em (−1, 0)
Confere a sela: saindo de (−1, 0) em y, f sobe (y² > 0); em x, f(−1,01; 0) < 2 desce ✓
exemplo 6.2 · f(x, y) = x² + xy + y² − 3x
- Ponto crítico
2x + y − 3 = 0 e x + 2y = 0 → x = −2y → −3y = 3 → (2, −1)
- Hessiana
D = 2 · 2 − 1² = 3 > 0 e fxx = 2 > 0 → mínimo
- O valor
f(2, −1) = 4 − 2 + 1 − 6 = −3
mínimo em (2, −1), valor −3 (e é global: a hessiana é a mesma em todo lugar)
Confere: varrendo uma grade de 160 mil pontos, o menor valor é −3 ✓
exemplo 6.3 · a armadilha do D = 0
- f = x⁴ + y⁴ e g = x⁴ − y⁴, na origem
as duas têm gradiente zero e hessiana toda zero → D = 0 nas duas
- Olhando a função
f ≥ 0 = f(0, 0): mínimo · g sobe em x e desce em y: sela
mesmo D = 0, respostas opostas: com D = 0, o teste não conclui
exemplo 6.4 · Taylor de 2ª ordem de f = eˣ cos y em torno de (0, 0)
- As derivadas na origem
f = 1 · fx = 1 · fy = 0 · fxx = 1 · fxy = 0 · fyy = −1
- Montar
f ≈ 1 + x + (x² − y²)/2
eˣ cos y ≈ 1 + x + (x² − y²)/2
Confere: em (0,1; 0,1), o exato é 1,09965 e a aproximação dá 1,1 — erro de 0,00035 ✓
7 · Multiplicadores de Lagrange
Pra extremos de f presos numa restrição g = c: ∇f = λ∇g e g = c. O sistema dá candidatos; quem é máximo ou mínimo sai comparando os valores de f neles.
exemplo 7.1 · extremos de f = x + y no círculo x² + y² = 1
- O sistema
1 = 2λx · 1 = 2λy · x² + y² = 1
- Resolver
das duas primeiras, x = y → 2x² = 1 → x = y = ±1/√2
- Comparar
f(1/√2, 1/√2) = √2 · f(−1/√2, −1/√2) = −√2
máximo √2 · mínimo −√2
Confere: varrendo 100 mil pontos do círculo, cos θ + sen θ vai de −1,4142 a 1,4142 ✓
exemplo 7.2 · a caixa sem tampa de 32 m³ com o mínimo de chapa
- O que eu quero
minimizar S = xy + 2xz + 2yz (fundo e quatro lados) com V = xyz = 32
- O sistema
- y + 2z = λyz
- x + 2z = λxz
- 2x + 2y = λxy
- As duas primeiras
dividindo por yz e por xz: 1/z + 2/y = 1/z + 2/x → x = y
- A terceira
4x = λx² → λ = 4/x · na primeira: x + 2z = 4z → x = 2z
- A restrição
x · x · x/2 = 32 → x³ = 64 → x = y = 4 m, z = 2 m
caixa 4 m × 4 m × 2 m, com S = 16 + 16 + 16 = 48 m² de chapa
Confere: buscando no computador entre mais de 160 mil caixas de 32 m³, a menor área é 48,00 m², em 4,00 × 4,00 × 2,00 ✓
exemplo 7.3 · a distância da origem ao plano x + 2y + 2z = 9
- Minimizar o quadrado da distância
f = x² + y² + z² · ∇f = λ∇g → (2x, 2y, 2z) = λ(1, 2, 2)
- O ponto é um múltiplo da normal
(x, y, z) = t(1, 2, 2) → t + 4t + 4t = 9 → t = 1 → (1, 2, 2)
distância = √(1 + 4 + 4) = 3
Confere pela fórmula: |9|/√(1² + 2² + 2²) = 9/3 = 3 ✓
Testar só retas e dizer que o limite existe. Usar a direção sem normalizar. Dizer “as parciais existem, então é diferenciável”. Concluir mínimo com D = 0. Resolver o Lagrange e esquecer de comparar os candidatos — ou esquecer a restrição.
Limite: dois caminhos derrubam, só uma desigualdade confirma. Direcional: sempre u = v/|v|. Diferenciável: parciais contínuas, ou a definição. D = 0: olhe a função. Lagrange: o sistema inteiro, com g = c, e a tabela de valores no fim.
- lim (x² − y²)/(x² + y²) quando (x, y) → (0, 0)
- Duf de f = xy² em (1, 1), na direção de (1, 1)
- classifique o ponto crítico de f = x² − y²
- o máximo de xy com x + y = 10
- dy/dx na curva x² + xy + y² = 7, no ponto (1, 2)
ver as respostas
1 · não existe (em y = 0 dá 1, em y = x dá 0) · 2 · ∇f = (1, 2), u = (1, 1)/√2 → 3/√2 ≈ 2,121 · 3 · (0, 0) é sela (D = −4) · 4 · 25, em x = y = 5 · 5 · −(2 + 2)/(1 + 4) = −4/5Em várias variáveis, o caminho importa, a direção precisa ser unitária, existir derivada parcial não garante diferenciável, D = 0 não decide, e Lagrange só entrega candidatos. Cada uma dessas frases é uma questão de prova.