Divergente e rotacional não falam do tamanho das setas num ponto. Falam de como as setas mudam em volta dele: quanto sai de um círculo pequeno, e quanto gira em volta dele.
Na KU Leuven (Bélgica), 30 alunos que já tinham cursado cálculo vetorial fizeram um teste no começo de Eletrodinâmica. Numa questão, recebiam desenhos de quatro campos e tinham de dizer onde o divergente e o rotacional eram zero:
- no campo mais fácil (divergente diferente de zero em todo lugar), metade acertou; nos outros três, menos de 1 em 4;
- no campo do tipo “fio” (setas pra fora caindo com 1/s), só 2 dos 30 perceberam que o divergente só não é zero no centro;
- cerca de 30% confundiram a derivada do campo com o valor dele (“o campo é zero ali, então o divergente é zero”);
- 20% a 30% deixaram o divergente em branco, e 30% a 40%, o rotacional.
Quando pediram pra escrever o que ∇A, ∇·A e ∇×A significam:
| expressão | descrição conceitual correta | disseram escalar | disseram vetor | em branco |
|---|---|---|---|---|
| ∇A (gradiente) | 10% | 3% | 60% | 3% |
| ∇·A (divergente) | 0% | 63% | 7% | 10% |
| ∇×A (rotacional) | 10% | 0% | 53% | 10% |
No mesmo artigo, os autores citam um estudo em Colorado em que só 26% dos alunos disseram corretamente onde o divergente de um campo elétrico se anula. E num teste maior, com 196 alunos de quatro universidades (Hull, St Andrews, Dublin e Leuven), menos da metade concordou que setas de um campo podem se cruzar no desenho — e muitos não usaram a densidade das linhas como o tamanho do campo.
Bollen, L., van Kampen, P. & De Cock, M. Students' difficulties with vector calculus in electrodynamics, Phys. Rev. ST Phys. Educ. Res. 11, 020129 (2015), arXiv:1502.02830 — pré-teste com N = 30; percentuais pedem cuidado pra generalizar, dizem os autores. · Bollen, L. et al. Student difficulties regarding symbolic and graphical representations of vector fields, Phys. Rev. Phys. Educ. Res. 13, 020109 (2017).
O divergente é o que sai de um círculo pequeno
Desenhe um círculo bem pequeno em volta do ponto. Some, em toda a borda, a parte da seta que aponta pra fora (o fluxo). Divida pela área do círculo. Quando o círculo encolhe, isso tende ao divergente. No plano, com F = (P, Q):
div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y ≈ (fluxo que sai do círculo) ÷ (área do círculo)
O rotacional é o que gira em volta dele
No mesmo círculo, some a parte da seta que acompanha a borda no sentido anti-horário (a circulação) e divida pela área. Imagine uma rodinha de pás no ponto: o rotacional diz se ela gira, e pra que lado.
rot F = ∂Q/∂x − ∂P/∂y ≈ (circulação na borda) ÷ (área do círculo)
Repare no que não está nas duas definições: o tamanho da seta no ponto. Um campo pode ser zero num ponto e ter divergente ali; pode ter setas enormes e divergente zero. É exatamente a confusão dos 30%.
A rodinha e o círculo no campo
escolha o campo · mova o círculo · o site soma o fluxo e a circulação na borda de verdade (720 pontos) e divide pela área
Os dois campos que derrubam a prova
Cisalhamento, F = (y, 0). Todas as setas são horizontais e paralelas. Olhando rápido, “não gira”. Mas em cima as setas são mais compridas que embaixo: a rodinha leva mais empurrão no alto do que na base, e gira no sentido horário.
cálculo completo · cisalhamento F = (y, 0)
- O que eu já sei
- P = y · Q = 0
- Divergente
∂P/∂x + ∂Q/∂y = 0 + 0 = 0
- Rotacional
∂Q/∂x − ∂P/∂y = 0 − 1 = −1
setas paralelas, e mesmo assim rot = −1: gira no sentido horário
Confere no desenho de cima: escolha “cisalhamento” e mova o círculo pra qualquer lugar — a circulação ÷ área fica em −1 ✓. E “esticando”, F = (x, 0), é o contrário: setas paralelas, sem giro, mas divergente 1.
O campo do fio, F = (x, y)/(x² + y²). As setas apontam pra fora e diminuem com a distância. Parece “saindo” em todo lugar — divergente positivo. Não é: fora da origem, o divergente é zero. Foi a questão em que só 2 de 30 acertaram.
cálculo completo · o campo do fio, fora da origem e na origem
- O que eu já sei
- P = x/(x² + y²) · Q = y/(x² + y²)
- regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Passo 1 · ∂P/∂x
[(x² + y²) − x · 2x] / (x² + y²)² = (y² − x²)/(x² + y²)²
- Passo 2 · ∂Q/∂y
[(x² + y²) − y · 2y] / (x² + y²)² = (x² − y²)/(x² + y²)²
- Passo 3 · somar
(y² − x² + x² − y²)/(…)² = 0, pra todo ponto fora da origem
- Passo 4 · um círculo de raio a em volta da origem
na borda, F · n = (x, y)/a² · (x, y)/a = a²/a³ = 1/a → fluxo = (1/a) · 2πa = 2π
div = 0 fora da origem · o fluxo por qualquer círculo em volta da origem é 2π, de qualquer tamanho
Confere: se o fluxo não muda com o raio, nada é criado entre dois círculos — todo o fluxo nasce na origem, onde está o fio ✓. No desenho de cima, “fio (1/s)” com o círculo longe dá ≈ 0; envolvendo a origem, dá 2π ÷ área.
Escalar ou vetor
Na tabela lá de cima, 63% acertaram que o divergente é escalar e 53% que o rotacional é vetor — mas só 0% e 10% conseguiram dizer o que eles medem. Grave pelo que cada um responde: gradiente responde “pra onde subir mais rápido?” — uma direção, vetor. Divergente responde “quanto sai daqui?” — um número, escalar. Rotacional responde “gira em torno de que eixo, e quanto?” — no espaço, um vetor; no plano, só o componente z, que é o número desta aula.
“As setas são paralelas, então o rotacional é zero.” “O campo é zero no ponto, então o divergente é zero.” “As setas saem do centro, então o divergente é positivo em todo lugar.”
Não olhe a seta do ponto: olhe o círculo em volta. Setas paralelas de tamanhos diferentes giram a rodinha. Setas que saem mas encolhem na medida certa não criam nada novo — o fluxo que entra num anel sai pelo outro. Na dúvida, calcule ∂P/∂x + ∂Q/∂y e ∂Q/∂x − ∂P/∂y.
- div e rot de F = (x², xy)
- div e rot de F = (0, x)
- div e rot de F = (3, 4)
- o fluxo de F = (x, y) que sai de um círculo de raio 2 centrado na origem
- a circulação de F = (−y, x) num círculo de raio 3 centrado na origem
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1 · div = 2x + x = 3x · rot = y − 0 = y · 2 · div = 0 · rot = 1 · 3 · div = 0 · rot = 0 · 4 · 8π ≈ 25,1 (div 2 × área 4π; ou 2 · 4π na borda) · 5 · 18π ≈ 56,5 (rot 2 × área 9π)Divergente é o que sai de um círculo pequeno; rotacional, o que gira na borda dele — os dois divididos pela área. Não dependem do tamanho da seta no ponto, e sim de como ela muda em volta. Setas paralelas podem girar; setas que saem podem ter divergente zero.