Toda função periódica razoável é uma soma de senos e cossenos de frequências múltiplas da fundamental. Os coeficientes dizem quanto de cada frequência a função tem.
A soma que imita um canto vivo
Considere a onda quadrada de período 2π: vale 1 entre 0 e π e −1 entre −π e 0. A série de Fourier dela só tem senos, e só os de índice ímpar:
f(x) = (4/π) · [ sen x + (sen 3x)/3 + (sen 5x)/5 + (sen 7x)/7 + … ]
Cada termo novo corrige o erro dos anteriores: arredonda menos os cantos e aplaina mais o topo. Mexa no desenho e veja.
Somar senos até virar a onda
escolha a onda · aumente os harmônicos · em cima, a onda (cinza) e a soma (laranja); embaixo, o tamanho de cada harmônico
Como achar os coeficientes
Pra uma função de período 2π:
f(x) = a0/2 + Σ [ an cos nx + bn sen nx ]
an = (1/π) ∫−ππ f(x) cos nx dx · bn = (1/π) ∫−ππ f(x) sen nx dx
A razão de funcionar é a ortogonalidade: integrando de −π a π, sen mx · sen nx dá zero quando m ≠ n e dá π quando m = n; o mesmo com os cossenos, e seno com cosseno dá sempre zero. Multiplicar a série inteira por sen nx e integrar apaga todos os termos, menos o bn · π. O ½ no a0 é só pra essa mesma fórmula servir também pra n = 0.
cálculo completo · os coeficientes da onda quadrada
- Os cossenos somem de graça
a onda é ímpar (f(−x) = −f(x)) e o cosseno é par: o produto é ímpar e integra a zero → an = 0, inclusive a0
- O seno: o produto é par, então dobro a metade
bn = (2/π) ∫0π 1 · sen nx dx = (2/π) · [−cos nx / n]0π = (2/(nπ)) · (1 − cos nπ)
- cos nπ = (−1)ⁿ
- n par: 1 − 1 = 0 → bn = 0
- n ímpar: 1 + 1 = 2 → bn = 4/(nπ)
b1 = 4/π ≈ 1,273 · b3 = 4/(3π) · b5 = 4/(5π) … e nenhum cosseno
Confere: integração numérica dos coeficientes b1, b2, b3 e b5 bate com a fórmula até a sexta casa ✓ · repare que b1 ≈ 1,27 > 1: o primeiro seno passa do topo da onda, e os seguintes puxam de volta
cálculo completo · o dente de serra f(x) = x, entre −π e π
- Também é ímpar
só senos: bn = (2/π) ∫0π x sen nx dx
- Por partes, u = x e dv = sen nx dx
∫ x sen nx dx = −x cos nx / n + sen nx / n²
- Nos limites
de 0 a π: −π cos nπ / n + 0 = −π(−1)n/n → bn = (2/π) · (−π(−1)n/n) = 2(−1)n+1/n
x = 2 [ sen x − (sen 2x)/2 + (sen 3x)/3 − … ]
Confere: em x = π/2 a série dá 2 · (1 − 1/3 + 1/5 − …) = 2 · π/4 = π/2 ✓ — de brinde, a série de Leibniz pra π/4
Quando a série converge, e o pico que não some
- onde a função é contínua e suave por partes, a série converge pro valor da função;
- num salto, a série converge pra média dos dois lados: a onda quadrada em x = 0 vale 0 na série — nem 1, nem −1;
- perto do salto, a soma parcial passa do valor e forma um pico. Com mais termos, o pico fica mais estreito e mais perto do salto, mas não diminui: fica em cerca de 9% do tamanho do salto. É o fenômeno de Gibbs. Na onda quadrada, o salto é 2 e o pico chega a ≈ 1,179.
cálculo completo · Parseval na onda quadrada, e uma soma famosa de brinde
- A identidade de Parseval
(1/π) ∫−ππ f² dx = a0²/2 + Σ (an² + bn²)
- Lado esquerdo
f² = 1 em todo lugar → (1/π) · 2π = 2
- Lado direito
Σn ímpar 16/(n²π²) = (16/π²) · (1 + 1/9 + 1/25 + …)
- Igualar
2 = (16/π²) · S → S = 1 + 1/9 + 1/25 + … = π²/8
1 + 1/3² + 1/5² + … = π²/8 ≈ 1,2337
Confere: somando um milhão de termos, 1,23370 ✓ · e como os pares somam ¼ de tudo, a soma de todos os 1/n² dá (π²/8)/(3/4) = π²/6 ✓
Por que isso é engenharia: harmônicos
Na série de uma onda de frequência f, o termo n vibra a n · f: é o n-ésimo harmônico. Quem ouve a mesma nota num violão e numa flauta ouve a mesma fundamental com harmônicos em proporções diferentes. Na rede elétrica, uma corrente que não é senoidal carrega harmônicos que esquentam cabo e transformador sem entregar potência útil.
cálculo completo · quanto harmônico tem a onda quadrada de um inversor simples
- Os tamanhos relativos
bn/b1 = 1/n → 3º harmônico: 33% da fundamental · 5º: 20% · 7º: 14%
- A distorção harmônica total (THD)
THD = √(soma dos quadrados dos harmônicos) ÷ fundamental = √(1/9 + 1/25 + 1/49 + …)
- Usar o Parseval
1/9 + 1/25 + … = π²/8 − 1 ≈ 0,2337 → THD = √0,2337 ≈ 0,483
a onda quadrada tem THD ≈ 48% — por isso inversor de onda quadrada esquenta motor e faz barulho em aparelho
Compare: a onda triangular, com harmônicos caindo com 1/n², tem THD = √(π⁴/96 − 1) ≈ 12%. Canto vivo custa harmônico; quanto mais lisa a onda, mais rápido os coeficientes caem.
A mesma decomposição, feita num sinal medido, é o espectro: o gráfico de quanto de cada frequência o sinal tem. É o que o painel da sala de Vibração mostra quando separa a rotação do motor das outras frequências.
Esquecer o ½ do a0 (e achar o valor médio em dobro). Calcular cossenos de uma função ímpar, ou senos de uma par, e errar a conta de algo que era zero. Integrar só de 0 a π sem usar a simetria. Dizer que a série da onda quadrada vale 1 em x = 0. Dizer que o pico de Gibbs some com termos suficientes.
Antes de integrar, olhe a simetria: ímpar → só senos, par → só cossenos (mais o a0/2). No salto, a série vale a média. Mais termos estreitam o pico, mas ele fica em ~9% do salto.
- a série de f(x) = |x| entre −π e π
- a série de f(x) = x² entre −π e π, e o que ela dá em x = π
- o valor da série da onda quadrada em x = 0 e em x = π/2
- o tamanho do 5º harmônico da onda quadrada, em % da fundamental
- a THD da onda triangular
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1 · par: π/2 − (4/π)[cos x + (cos 3x)/9 + (cos 5x)/25 + …] · 2 · π²/3 + Σ 4(−1)ncos(nx)/n²; em x = π dá π² = π²/3 + 4Σ1/n², logo Σ1/n² = π²/6 · 3 · 0 (média do salto) e 1 · 4 · 1/5 = 20% · 5 · √(π⁴/96 − 1) ≈ 12,1%Função periódica = soma de senos e cossenos. Os coeficientes saem integrando contra cada seno e cosseno, graças à ortogonalidade; a simetria corta metade da conta. No salto, a série dá a média, e o pico de Gibbs fica em ~9%. Os coeficientes são os harmônicos — o espectro de som, sinal e vibração.