Equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função inteira. Ela conta como a coisa muda; resolver é descobrir a coisa.
A bobina segura a corrente
Liga uma bateria V num resistor R em série com uma bobina L. A bobina reage à mudança de corrente com uma tensão L · di/dt. Somando as quedas pela lei de Kirchhoff:
No meu caderno esta é a “página sem atalhos”: o aluno caça o di e o dt, taca a integral dos dois lados, faz o rascunho da substituição no canto e briga com os sinais até o fim. Aqui vai a mesma página, com cada passo à vista.
cálculo completo · a corrente do circuito RL
- O que eu quero saber
A corrente i(t) depois de ligar, e depois com V = 12 V, R = 4 Ω e L = 2 H.
- O que eu já sei
- L di/dt + Ri = V
- no instante de ligar: i(0) = 0
- du ÷ u integra em ln u
- Passo 1 · separar
L di/dt = V − Ri → di ÷ (V − Ri) = dt ÷ L
- Passo 2 · integrar
com u = V − Ri e du = −R di: −(1/R) ln(V − Ri) = t/L + C
- Passo 3 · isolar o ln
ln(V − Ri) = −Rt/L + C₂ → V − Ri = K · e−Rt/L
- Passo 4 · achar o K
em t = 0, i = 0: V − 0 = K · 1 → K = V
- Passo 5 · isolar o i
Ri = V − Ve−Rt/L → i(t) = (V/R) · (1 − e−Rt/L)
- Passo 6 · os números
V/R = 12 ÷ 4 = 3 A · τ = L/R = 2 ÷ 4 = 0,5 s
i(0,5) = 3 · (1 − e−1) = 3 · 0,632 = 1,896 A
i(t) = 3 · (1 − e−2t) ampères · em uma constante de tempo já tem 63 % dos 3 A
Confere: em t = 0, di/dt = V/L = 6 A/s; na equação: 2 · 6 + 4 · 0 = 12 ✓
A corrente subindo
arrasta R e L · bateria de 12 V · o ponto verde marca uma constante de tempo
Achei que no instante de ligar a corrente já pulava pra V/R = 3 A.
A bobina não deixa a corrente pular: em t = 0 ela é 0, e é essa condição que dá o K. Os 3 A são o fim da história, quando di/dt já zerou e a bobina virou um fio.
Quem é quem na fórmula
Cada letra é um personagem com uma função no circuito. Enquanto a letra for só uma letra, a fórmula assusta; quando vira gente, ela se lê sozinha.
- V · volts
- O motor. A força bruta. É ele que empurra e quer a corrente no máximo o quanto antes.
- R · ohms
- O freio final. Quem impõe o limite. Não importa o tamanho da bateria: o R decide quantos ampères passam, e ponto.
- L · henries
- O teimoso. Odeia mudança. Não diminui a corrente final, só atrasa a chegada.
- t · segundos
- O relógio do mundo. O cronômetro que você aperta quando liga a chave.
- τ · segundos
- O relógio do circuito. τ = L ÷ R. É o passo deste circuito: aqui, 2 ÷ 4 = 0,5 s.
- i(t) · ampères
- O protagonista. A função que a gente procura. O (t) do lado só avisa: meu valor muda conforme o segundo que você olhar.
- e · ≈ 2,718
- A curva da natureza. É o que faz a subida ser curva, e não uma reta dura: rápida no começo, perdendo força no fim.
- di/dt · A/s
- O velocímetro. A velocidade da corrente. Máxima no instante zero, zero quando o circuito estabiliza.
Raio-X: onde está a matemática básica
De longe a fórmula assusta. De perto, é conta de padaria, quatro pedaços:
- O teto máximo · uma divisão. O pedaço V ÷ R é a velha lei de Ohm: se a bobina não atrapalhasse, qual seria o limite? 12 ÷ 4 = 3 A: esse número fica esperando o resto da conta.
- O desconto · uma subtração. O pedaço (1 − e…) é conta de troco. O 1 é o todo, 100%. O e… é o quanto ainda falta carregar. Se falta 0,368, 1 − 0,368 = 0,632, e o parêntese só manda pegar os 3 A e multiplicar por 0,632, dando 1,896 A.
- O cronômetro · uma fração. O expoente t ÷ τ pergunta quantas voltas do relógio do circuito já passaram: 2,5 ÷ 0,5 = 5.
- A conta do caixa · uma soma. A equação L·di/dt + R·i = V é o caixa do mercado: parte A mais parte B dá o total. Se o resistor está com 4 V, sobram 8 V para a bobina, e nesse instante a corrente é 1 A e sobe a 4 A/s. Ninguém cria nem perde energia.
Em português: a corrente é o máximo possível, multiplicado por cem por cento menos a parte que ainda falta chegar.
A briga, turno a turno
A bateria de 12 V quer empurrar tudo. A bobina de 2 H segura. O resistor de 4 Ω cobra o pedágio e decide o teto: 12 ÷ 4 = 3 A. Cada turno dura um τ = 0,5 s, e o e−t/τ é a vida do escudo da bobina despencando de 100% a quase zero.
-
t = 0 s · o disparo
A chave fecha e a bobina absorve o impacto inteiro.
escudo: e0 = 1 · bloqueia 100%
i = 3 · (1 − 1) = 0 A -
t = 0,5 s · o primeiro respiro (1 τ)
O escudo racha e a corrente encontra a brecha.
escudo: e−1 = 0,368 · bloqueia 36,8%
i = 3 · (1 − 0,368) = 1,896 A -
t = 1,0 s · a avalanche (2 τ)
A barreira desmorona e a corrente domina o circuito.
escudo: e−2 = 0,135 · bloqueia 13,5%
i = 3 · (1 − 0,135) = 2,594 A -
t = 2,5 s · fim da briga (5 τ)
A bobina abaixa o escudo e vira um pedaço de fio.
escudo: e−5 = 0,0067 · bloqueia 0,67%
i = 3 · (1 − 0,0067) = 2,98 A, 99,3% do teto
O detalhe honesto: a corrente nunca chega aos 3 A exatos. Em 5 τ ela está em 2,98 A, e daí em diante a diferença some no ruído, é por isso que o técnico para de contar ali.
A regra de bolso do técnico
τ = L/R. Em 1 τ a corrente chega a 63 %; em 3 τ, 95 %; em 5 τ, 99,3 %. Na prática, depois de 5 constantes de tempo o circuito está no regime.
- τ com L = 0,1 H e R = 10 Ω
- a corrente final com V = 24 V e R = 6 Ω
- quantos % da corrente final em 2 τ
- di/dt em t = 0 com V = 12 V e L = 2 H
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0,01 s · 4 A · 1 − e−2 = 86,5 % · 6 A/sSepara as letras, integra os dois lados, e a constante sai da condição inicial. No RL a corrente sobe de 0 até V/R, e τ = L/R diz o ritmo.