No ponto mais alto e no mais baixo de uma curva lisa, a tangente fica deitada. Derivada igual a zero é o endereço dos candidatos.
A bateria que esquenta por dentro
Toda bateria tem uma resistência interna. Uma de 12 V com 0,5 Ω por dentro entrega pra carga a potência de fora menos a que ela mesma queima:
Corrente pequena entrega pouco. Corrente enorme queima tudo por dentro. Tem uma corrente no meio que entrega o máximo — e a derivada acha.
Procurando o topo
arrasta a corrente · a reta laranja é a tangente; quando ela deita, chegou no topo
cálculo completo · a corrente que entrega a maior potência
- O que eu quero saber
Qual corrente dá a maior potência na carga, quanto é essa potência e qual carga puxa essa corrente.
- O que eu já sei
- P(I) = 12I − 0,5I²
- no topo, P′(I) = 0
- bateria: 12 V com 0,5 Ω interna
- Passo 1 · derivar
P′(I) = 12 − 2 · 0,5 · I = 12 − I
- Passo 2 · igualar a zero
12 − I = 0 → I = 12 A
- Passo 3 · é topo ou fundo?
P″(I) = −1 → negativa: a curva é um morro, é máximo
- Passo 4 · a potência
P(12) = 12 · 12 − 0,5 · 144 = 144 − 72 = 72 W
- Passo 5 · a carga
resistência total = 12 V ÷ 12 A = 1 Ω → carga = 1 − 0,5 = 0,5 Ω
12 A entregam o máximo de 72 W, com uma carga de 0,5 Ω — igual à resistência interna
Confere: vizinhos: P(11) = 132 − 60,5 = 71,5 W e P(13) = 156 − 84,5 = 71,5 W, os dois menores ✓
A carga igual à resistência interna é a regra da máxima transferência de potência, que aparece em antena, alto-falante e painel solar.
Achei a derivada zero e já escrevi “máximo”.
Derivada zero só diz que a tangente deitou: pode ser topo, fundo ou nenhum dos dois. A segunda derivada decide: negativa é morro (máximo), positiva é vale (mínimo). x² tem derivada zero em 0 e ali é mínimo; x³ também, e ali não é nem um nem outro.
- o mínimo de f(x) = x² − 6x + 5
- com 40 m de arame, o retângulo de maior área (lados x e 20 − x)
- a corrente de maior potência em P = 24I − 2I²
- f(x) = −x² + 4x: o ponto plano é máximo ou mínimo?
- f(x) = x³ em 0: máximo, mínimo ou nenhum?
ver as respostas
em x = 3, f = −4 · x = 10: quadrado de 100 m² · I = 6 A, P = 72 W · máximo em x = 2 (f″ = −2) · nenhum: a curva só dá uma pausa e continua subindoPra achar o melhor ponto: deriva, iguala a zero, e usa a segunda derivada pra saber se é morro ou vale. Confere sempre com os vizinhos.