Na exponencial, cada passo multiplica. Por isso ela parece calma no começo e depois embica.
A avalanche · f(x) = 2ˣ
A base 2 se multiplica por ela mesma quantas vezes o x mandar. A cada passo, dobra.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2ˣ | 0,25 | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 8 |
De onde saiu o 8? Meu quadro ia até x = 2, onde dá 4. Um passo a mais, x = 3: 2 × 2 × 2 = 8. É por isso que a curva embica logo depois: ela não soma, multiplica.
Os negativos
Andando pra esquerda, a saída cai pela metade a cada passo: 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 0,5, 2⁻² = 0,25. Chega cada vez mais perto de zero, mas nunca chega.
Crescente e decrescente · x₁ < x₂
Nas definições sempre aparece x₁ < x₂. Isso só quer dizer que o tempo avançou: comparo o agora com o depois. Se no depois a saída é maior, a função é crescente; se é menor, decrescente.
O alívio de carga · o motor esfriando
Anotei: o motor desligado a 100 °C perde metade a cada intervalo: 100 → 50 → 25 → 12,5.
Assim ele chegaria perto de 0 °C, mais frio que a sala. Quem cai pela metade é a diferença pra temperatura ambiente: T = Tamb + (T0 − Tamb) · (1/2)t/t½. O motor tende aos 25 °C da sala, não a zero.
cálculo completo · o motor de 100 °C numa sala de 25 °C
- O que eu quero saber
A temperatura do motor 30 min depois de desligar, e quando ele passa a ficar abaixo de 40 °C.
- O que eu já sei
- T0 = 100 °C · sala: 25 °C
- a diferença pra sala cai pela metade a cada 10 min (valor de exemplo)
- Fórmula
T = 25 + 75 · (1/2)t/10
- Passo 1 · diferença inicial
100 − 25 = 75 °C
- Passo 2 · depois de 30 min
30 ÷ 10 = 3 → (1/2)3 = 1/8 → 75 ÷ 8 = 9,375 °C
- Passo 3 · temperatura
T = 25 + 9,375 = 34,375 ≈ 34,4 °C
- Passo 4 · abaixo de 40 °C
20 min: 25 + 75 ÷ 4 = 43,75 °C (ainda acima)
30 min: 34,4 °C (abaixo)
cruza os 40 °C entre 20 e 30 min — a conta exata, com logaritmo, dá ≈ 23,2 min
Depois de 30 min o motor está a ≈ 34,4 °C; ele passa dos 40 °C pra baixo por volta de 23 min.
Confere: em t = 0: 25 + 75 = 100 °C ✓ · a curva nunca desce abaixo de 25 °C ✓
A avalanche e o alívio
em cima, 2ˣ · embaixo, o motor esfriando (linha cinza = sala, 25 °C; linha vermelha = 40 °C)
- 2⁴
- 2⁻³
- 3ˣ em x = 3
- O mesmo motor, 20 min depois de desligar.
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16 · 0,125 · 27 · 25 + 75 · (1/2)² = 25 + 18,75 = 43,75 °CExponencial multiplica a cada passo: dobra ou cai pela metade. No resfriamento de verdade, quem cai pela metade é a distância até a temperatura da sala.