Derivada parcial é o teste de bancada honesto: mexe um botão, segura os outros, e mede quanto a saída mudou.
Uma chapa quente
A temperatura numa chapa depende de onde eu ponho o termômetro: T(x, y) = 100 − x² − 2y². Andando só em x, a mudança é ∂T/∂x = −2x; andando só em y, é ∂T/∂y = −4y. As duas juntas formam o gradiente, a seta que aponta pra onde esquenta mais rápido.
O gradiente na chapa quente
arrasta o termômetro · azul é frio, vermelho é quente, o centro tem 100 °C · a seta verde aponta pra onde esquenta mais rápido
Na bancada: a potência de um resistor
P = V² ÷ R depende de dois botões. Se a tensão da rede sobe um pouco e o resistor esquenta e aumenta um pouco, quanto muda a potência?
cálculo completo · a mudança de potência com V e R mudando juntos
- O que eu quero saber
Quanto muda P = V²/R quando V vai de 220 para 222 V e R de 22 para 22,5 Ω.
- O que eu já sei
- segurando R: ∂P/∂V = 2V/R
- segurando V: ∂P/∂R = −V²/R²
- ΔP ≈ ∂P/∂V · ΔV + ∂P/∂R · ΔR
- Passo 1 · a potência agora
220² ÷ 22 = 48 400 ÷ 22 = 2 200 W
- Passo 2 · botão V
2 · 220 ÷ 22 = 20 W por volt
- Passo 3 · botão R
−48 400 ÷ 22² = −48 400 ÷ 484 = −100 W por ohm
- Passo 4 · juntar
20 · 2 + (−100) · 0,5 = 40 − 50 = −10 W
a potência cai uns 10 W: o resistor esquentando pesa mais que a tensão subindo
Confere: conta direta: 222² ÷ 22,5 = 49 284 ÷ 22,5 = 2 190,4 W → caiu 9,6 W ✓
Derivei P = V²/R em R e escrevi 2V/R.
Isso é a derivada em V. Em R, o V² fica parado como número e quem tomba é o R−1: ∂P/∂R = V² · (−1) · R−2 = −V²/R². Faz sentido: resistência maior, potência menor.
- ∂/∂x e ∂/∂y de f = x²y no ponto (1, 3)
- o gradiente de T = 100 − x² − 2y² em (1, 1)
- ∂P/∂I em P = V · I
- ∂A/∂b na área do retângulo A = b · h
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6 e 1 · (−2, −4): pra esquentar, andar pro centro · V · hVárias entradas, um botão de cada vez: os outros ficam parados como número. O gradiente junta as parciais numa seta que aponta pra subida mais forte.