A derivada é o velocímetro: quanto a saída muda para cada pedacinho que a entrada muda, naquele instante.
Média e instante
Uma esteira empurra uma caixa e a posição segue s(t) = 5t² metros. Em 2 segundos a caixa andou 20 m: a média é 20 ÷ 2 = 10 m/s. Mas a caixa foi acelerando — no instante 2 s ela já está mais rápida que a média. Pra ler esse instante eu preciso de uma média num intervalo cada vez menor. Isso é um limite.
Da secante à tangente
A média entre dois pontos é a inclinação da reta que corta a curva nos dois (a secante). Aproximando o segundo ponto do primeiro, a secante gira até só encostar na curva: vira a tangente. A inclinação da tangente é a derivada.
A secante girando até virar tangente
arrasta o ponto e o tamanho do passo h · curva f(x) = x²
cálculo completo · a derivada de f(x) = x² pela definição
- O que eu quero saber
A inclinação de x² em qualquer ponto — e em x = 3.
- O que eu já sei
- f′(x) = limite de [f(x + h) − f(x)] ÷ h
- (x + h)² = x² + 2xh + h²
- Passo 1 · subtrair
(x² + 2xh + h²) − x² = 2xh + h²
- Passo 2 · dividir por h
(2xh + h²) ÷ h = 2x + h
- Passo 3 · h vai pra 0
2x + 0 = 2x
- Passo 4 · no ponto 3
f′(3) = 2 · 3 = 6
f′(x) = 2x · em x = 3 a curva sobe 6 por passo
Confere: com h = 0,01: (3,01² − 9) ÷ 0,01 = (9,0601 − 9) ÷ 0,01 = 6,01 ✓
De volta à esteira
O dobro da média, como a caixa acelerando fazia esperar.
Achei que f′(3) era 9, porque f(3) = 9.
f(3) = 9 diz onde a curva está; f′(3) = 6 diz quanto ela sobe por passo ali. É a diferença entre a posição da caixa e o velocímetro.
A unidade entrega o sentido
A derivada tem unidade de saída por entrada: metro por segundo, volt por segundo, grau por minuto. Se a temperatura do motor tem derivada de 2 °C/min, ele está esquentando 2 graus a cada minuto — agora.
- a derivada de x² em x = −1
- a inclinação da secante de x² entre 1 e 1,5
- a velocidade da caixa s = 5t² em t = 4 s
- a derivada de f(x) = 3x + 2
- a unidade de dT/dt com T em °C e t em minutos
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−2 (descendo) · (2,25 − 1) ÷ 0,5 = 2,5 · 40 m/s · 3 (reta tem a mesma inclinação em todo lugar) · °C/minDerivada é a média num intervalo que encolhe até virar instante. A secante gira e vira tangente. f diz onde está; f′ diz quão rápido muda.