A Lua é um corpo de rocha com 1,23% da massa da Terra, a 384.400 km daqui. Dessa frase saem o seu peso lá, a maré aqui, o mês do calendário e o eclipse.
Quanto você pesaria lá
A gravidade na superfície de qualquer bola de massa M e raio R sai de uma conta só. Não precisa saber nada sobre a Lua além desses dois números.
cálculo completo · a gravidade na superfície da Lua
- O que eu quero saber
Quanto marca uma balança na Lua para alguém de 80 kg.
- O que eu já sei
- g = GM/R²
- G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
- M = 7,346 × 10²² kg · R = 1.737,4 km
- Passo 1 · a gravidade
g = 6,674×10⁻¹¹ · 7,346×10²² ÷ (1,7374×10⁶)² = 1,624 m/s²
- Passo 2 · comparar com a Terra
9,82 ÷ 1,624 = 6,05 → a gravidade lá é 1/6 da daqui
- Passo 3 · a balança
80 · 1,624 = 129,9 N = 13,3 kgf
quem tem 80 kg aqui marca 13,3 kgf na balança lá, e continua com 80 kg de massa
Confere: a Lua tem 1,23% da massa da Terra e 27,3% do raio. Na razão M/R², isso dá 0,0123 ÷ 0,273² = 0,165, que é 1/6,05 ✓. Massa pequena puxa pouco, mas raio pequeno aproxima da superfície e ajuda de volta.
A pista da densidade
Repare num número da tabela: a Lua é bem menos densa que a Terra, 3.344 contra 5.513 kg/m³. A Terra tem um núcleo grande de ferro. A Lua quase não tem.
É essa diferença que sustenta a explicação aceita hoje para a origem dela: um corpo do tamanho de Marte bateu na Terra jovem, e o material arrancado, vindo sobretudo do manto e não do núcleo, se juntou em órbita. Uma Lua feita de manto explica a densidade baixa, a composição parecida com a da crosta terrestre e a falta de ferro.
Por que ela mostra sempre a mesma face
A Lua gira em torno do próprio eixo. Só que ela leva o mesmo tempo para dar uma volta em si mesma e uma volta em torno da Terra: 27,32 dias. O nome disso é rotação síncrona, e o resultado é que a mesma face fica virada para cá.
Não foi coincidência. A maré que a Terra levanta na rocha da Lua freou a rotação dela ao longo de milhões de anos até travar nesse compasso. A Lua faz o mesmo com a Terra, e é por isso que o nosso dia está aumentando.
As duas faces são bem diferentes, e isso é fato medido, não impressão. A face oculta tem crosta mais espessa e quase nenhuma planície de lava. O que ela não é: escura. Ela recebe tanto sol quanto a outra, só que na hora em que aqui é lua nova.
Como a distância é medida: com um espelho deixado lá
A Apollo 11 deixou na superfície um painel de retrorrefletores, um conjunto de prismas que devolve a luz exatamente na direção de onde ela veio. Os observatórios apontam um laser para ele e cronometram a volta.
cálculo completo · o tempo do laser e o afastamento da Lua
- O que eu quero saber
Quanto tempo a luz leva para ir e voltar, e o que significam os 3,8 cm por ano que as medições mostram.
- O que eu já sei
- c = 299.792.458 m/s
- distância média = 384.400 km
- Passo 1 · ida
384.400.000 ÷ 299.792.458 = 1,282 s
- Passo 2 · ida e volta
2 · 1,282 = 2,56 s entre disparar o laser e ver o retorno
- Passo 3 · o que 3,8 cm/ano acumula
0,038 · 1.000.000 = 38.000 m = 38 km por milhão de anos
o eco do laser volta em 2,56 segundos, e a Lua se afasta 3,8 cm por ano, o mesmo que uma unha cresce
Confere: 384.400 km dá para empilhar 30,2 Terras no caminho (12.742 km cada). E o afastamento não é a Lua fugindo: é o atrito das marés passando rotação da Terra para a órbita dela, o que empurra a Lua para fora e alonga o nosso dia.
A maré é da Lua, embora o Sol puxe mais forte
Aqui está a parte que quase todo mundo erra. O Sol puxa a Terra 179 vezes mais forte que a Lua. Mesmo assim, a maré é comandada pela Lua. Os dois fatos convivem porque quem levanta a maré é a diferença de força entre o lado de cá e o lado de lá do planeta. O Sol puxa muito mais forte, e puxa quase igual nos dois lados, porque está longe demais para a largura da Terra fazer diferença. A Lua puxa fraco, e puxa bem diferente de um lado para o outro, porque está perto.
Essa diferença cai com o cubo da distância, e não com o quadrado. O Sol está 389 vezes mais longe, e o cubo disso engole a vantagem de massa dele.
cálculo completo · quem manda na maré
- O que eu já sei
- atração: F ∝ M/d²
- efeito de maré: ΔF ∝ M/d³
- Sol: 1,989×10³⁰ kg a 149,6 milhões de km
- Lua: 7,346×10²² kg a 384.400 km
- Passo 1 · quem puxa mais
(M☉/d☉²) ÷ (M☾/d☾²) = 179 → o Sol vence fácil
- Passo 2 · quem estica mais
(M☾/d☾³) ÷ (M☉/d☉³) = 2,18 → a Lua vence
o Sol puxa 179× mais forte, e ainda assim a maré da Lua é 2,2× a do Sol
Confere na praia: quando Sol e Lua se alinham, na lua nova e na cheia, os dois efeitos somam e dá a maré de sizígia, a mais alta do mês. Quando ficam a 90°, na lua crescente e na minguante, um desconta o outro e dá a maré de quadratura, a mais fraca. Duas marés altas por dia, uma de cada lado do planeta.
As fases, e por que o mês tem 29,5 dias e não 27,3
Fase é geometria pura: metade da Lua está sempre iluminada pelo Sol, e o que muda é quanto dessa metade fica virado para nós. Mexa no desenho.
A Lua dando a volta
à esquerda, visto de cima, com o Sol iluminando de um lado só · à direita, a Lua como você vê daqui
E aqui aparece um detalhe que confunde muita gente: a Lua completa a volta em 27,32 dias, mas de uma lua cheia à seguinte passam 29,53 dias. A diferença existe porque a Terra também andou na órbita dela em volta do Sol, e a Lua precisa de um pedaço a mais de volta para reencontrar o mesmo alinhamento.
cálculo completo · o mês que o calendário usa
- O que eu já sei
- volta da Lua em torno da Terra: 27,3217 dias
- volta da Terra em torno do Sol: 365,2564 dias
- Passo 1 · trabalhar com voltas por dia
1/S = 1/27,3217 − 1/365,2564
- Passo 2 · a conta
1/S = 0,0366 − 0,0027 = 0,033863 → S = 29,5306 dias
o mês das fases é de 29,53 dias, e é dele que vem o mês do calendário
Confere: a tabela da NASA traz 29,5306 dias para o mês sinódico. A conta fecha na quarta casa ✓
Por que o eclipse total existe
Esta é a coincidência mais bonita do céu. O Sol tem 401 vezes o diâmetro da Lua, e está 389 vezes mais longe. Os dois números quase se cancelam, então os dois discos aparecem quase do mesmo tamanho no céu.
cálculo completo · o tamanho aparente dos dois
- Passo 1 · a Lua no céu
2 · arctg(3.474,8 ÷ 2 ÷ 384.400) = 0,518°
- Passo 2 · o Sol no céu
2 · arctg(1.392.700 ÷ 2 ÷ 149.598.000) = 0,533°
- Passo 3 · a razão
0,518 ÷ 0,533 = 0,97
os dois discos têm quase o mesmo tamanho no céu, meio grau cada um, o tamanho de uma ervilha a um braço de distância
Confere: a órbita da Lua é elíptica, então esse 0,97 varia. Quando ela está mais longe, o disco dela fica menor que o do Sol e sobra um anel de luz: é o eclipse anular. E como ela se afasta 3,8 cm por ano, um dia o eclipse total deixa de existir.
O que se vê de lá
A falta de atmosfera explica quase tudo o que parece estranho nas fotos da Apollo: a sombra dura sem penumbra, o céu preto de dia, nenhuma estrela visível nas fotos tiradas com a exposição ajustada para o solo iluminado, e a pegada que continua marcada porque não há vento nem chuva para apagar.
Que a Lua tem um lado escuro. Que ela fica maior perto do horizonte. Que na Lua não há gravidade, e por isso o astronauta flutua. Que a Lua é branca. Que a maré é o Sol puxando a água.
Existe face oculta, não lado escuro: os dois lados recebem sol igual. O tamanho no horizonte é ilusão de ótica, o diâmetro medido é o mesmo. A gravidade lá é 1,62 m/s², um sexto da daqui, e é por isso que o astronauta dá aqueles saltos em vez de flutuar. A superfície reflete cerca de 12% da luz que recebe, mais perto do asfalto que do papel. E a maré é o efeito de gradiente, 2,2 vezes maior pela Lua que pelo Sol.
- a gravidade em Marte, com M = 6,417×10²³ kg e R = 3.389,5 km
- quanto marca a balança lá, para 80 kg
- quanto tempo a luz leva para ir daqui ao Sol, a 149,6 milhões de km
- quantos anos leva para a Lua se afastar 1 metro
- se a Lua estivesse ao dobro da distância, quantas vezes menor ficaria o efeito de maré dela
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1 · g = 6,674×10⁻¹¹ · 6,417×10²³ ÷ (3,3895×10⁶)² = 3,73 m/s² · 2 · 80 · 3,73 = 298 N = 30,4 kgf · 3 · 149.598.000 ÷ 299.792,458 = 499 s = 8,3 min · 4 · 100 ÷ 3,8 = 26,3 anos · 5 · o efeito cai com o cubo: 2³ = 8 vezes menorDois números, massa e raio, dão a gravidade. Distância mais o relógio do laser dão os 384.400 km e os 3,8 cm por ano. Massa dividida pelo cubo da distância decide a maré, e é por isso que a Lua ganha do Sol. E uma coincidência de tamanho aparente, 401 contra 389, é o que nos dá eclipse total, por enquanto.
- NASA, Moon Fact Sheet: massa, raio, densidade, distância, períodos e temperaturas
- NASA, Earth Fact Sheet: os números da Terra usados nas comparações
- Wikimedia Commons: mosaicos da face visível e da face oculta, da sonda LRO
- Wikimedia Commons: o refletor da Apollo 11, a pegada e o nascer da Terra
