Derivada e integral são a mesma engrenagem girando pra lados opostos: uma desmonta, a outra monta de volta.
Os nomes das peças
Em a · xn, chamo o a de trator (o número da frente) e o n de telhado (o expoente).
Derivada · o tombo
O telhado cai multiplicando o trator e perde um.
cálculo completo · a derivada de 10x³
- O que eu quero saber
A derivada de f(x) = 10x³.
- O que eu já sei
- trator a = 10
- telhado n = 3
- Fórmula
f′(x) = n · a · xn−1
- Passo 1 · o tombo
n · a = 3 · 10 = 30
- Passo 2 · o telhado perde um
n − 1 = 3 − 1 = 2
- Passo 3 · juntar
f′(x) = 30x²
f′(x) = 30x²
Confere: integrando 30x² volta 10x³ + C (logo abaixo) ✓
Integral · o guincho
É a marcha ré: o telhado ganha um e o trator é dividido pelo telhado novo. E sempre sobra um + C: a derivada apaga qualquer número solto, então na volta eu não sei qual era.
| operação | o telhado | o trator |
|---|---|---|
| derivada | perde 1 | multiplicado pelo telhado antigo |
| integral | ganha 1 | dividido pelo telhado novo |
A derivada é a inclinação
azul: f(x) = x³ · verde: f′(x) = 3x² · arrasta o ponto: a reta laranja encosta na curva e a inclinação dela é f′(x)
Ler o símbolo como ação
- d/dt — rapidez de mudança.
- ∫ — acúmulo total. O “S” esticado vem de summa, soma.
- Δ — salto, variação bruta.
- Na bobina, L · di/dt diz: quanto mais rápido a corrente tenta mudar, maior a tensão que aparece.
cálculo completo · a velocidade de um carrinho
- O que eu quero saber
A velocidade em t = 3 s de um carrinho cuja posição é s(t) = 5t² (metros).
- O que eu já sei
- velocidade é a rapidez com que a posição muda: v = s′(t)
- trator 5, telhado 2
- Passo 1 · o tombo
v(t) = 2 · 5 · t1 = 10t
- Passo 2 · substituir
v(3) = 10 · 3 = 30
Em 3 s o carrinho anda a 30 m/s.
Confere: unidade: m ÷ s = m/s ✓ · integrando 10t volta 5t² + C ✓
- Derive 5x⁴.
- Derive 7x².
- Integre 12x³.
- Integre 6x.
ver as respostas
20x³ · 14x · 3x⁴ + C · 3x² + CDerivada: o telhado cai multiplicando e perde um. Integral: o telhado ganha um e divide. Uma desfaz a outra — por isso a integral carrega o + C.