A integral dupla soma uma grandeza espalhada numa área: massa numa chapa, calor numa placa, carga numa superfície.
Chapa com densidade constante
Aço pesa 7 850 kg por m³. Uma chapa de 1 mm tem então 7 850 × 0,001 = 7,85 kg por m². Se a densidade é a mesma em todo lugar, a massa é densidade × área: uma chapa de 2 m × 3 m pesa 7,85 × 6 = 47,1 kg.
Quando a densidade muda de lugar pra lugar
Numa chapa que engrossa em direção a um canto, a densidade vira uma função: ρ(x, y) = x · y kg/m², com a chapa de 0 a 2 m em x e de 0 a 3 m em y. Corto em quadradinhos, cada um pesa densidade × área dele, e somo.
Quadradinhos na chapa
arrasta a grade · cada quadradinho usa a densidade do canto de baixo à esquerda · a massa certa é 9 kg
cálculo completo · a massa da chapa com ρ = x · y
- O que eu quero saber
∫02 ∫03 x · y dy dx — a massa total da chapa.
- O que eu já sei
- por dentro: y vai de 0 a 3, com x parado
- por fora: x vai de 0 a 2
- guincho: ∫ y dy = y²/2
- Passo 1 · por dentro, em y
∫03 x · y dy = x · (3²/2 − 0) = 4,5x
- Passo 2 · por fora, em x
∫02 4,5x dx = 4,5 · (2²/2 − 0) = 4,5 · 2 = 9
a chapa pesa 9 kg
Confere: invertendo a ordem: ∫02 xy dx = 2y, e ∫03 2y dy = 9 ✓
No meu quadro: a força de uma pressão que muda
Num disco é mais fácil cortar em anéis do que em quadradinhos. O pedaço de área deixa de ser dx · dy e vira r · dr · dθ: quanto mais longe do centro, mais comprido o anel.
cálculo completo · a força de uma pressão que cai do centro até a borda
- O que eu quero saber
A força total da pressão P(r) = Pmáx · (1 − r/R) espalhada num disco de raio R.
- O que eu já sei
- força é pressão vezes área, somada: F = ∫∫ P dA
- em anéis: dA = r dr dθ
- r: 0 → R · θ: 0 → 2π
- Passo 1 · montar
F = ∫02π ∫0R Pmáx(1 − r/R) · r dr dθ
- Passo 2 · abrir o r
(1 − r/R) · r = r − r²/R
- Passo 3 · por dentro, em r
∫0R (r − r²/R) dr = R²/2 − R³/(3R) = R²/2 − R²/3 = R²/6
- Passo 4 · por fora, em θ
∫02π dθ = 2π
- Passo 5 · juntar
F = Pmáx · R²/6 · 2π = πR² · Pmáx ÷ 3
F = ⅓ · πR² · Pmáx — um terço do que daria com a pressão máxima no disco inteiro
Confere: a pressão desenhada em cima do disco forma um cone, e cone tem ⅓ do volume do cilindro ✓ · no quadro: 1 570 N ÷ 9,81 ≈ 160 kgf ✓
Na integral de dentro, em y, usei os limites de 0 a 2 e achei 4 kg.
Cada letra tem os seus limites: o y vai de 0 a 3, o x de 0 a 2. Trocando, calculei outra chapa, de 2 m × 2 m. Antes de integrar, escrevo do lado: “y: 0 → 3”.
- ∫01 ∫01 (x + y) dy dx
- ∫02 ∫01 3 dy dx
- a massa de uma chapa de aço de 1 mm, 1 m × 2 m
- ∫01 ∫02 x² dy dx
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1 · 6 (densidade constante: 3 × área 2) · 15,7 kg · 2/3 ≈ 0,667Integral dupla é somar quadradinhos. Resolve de dentro pra fora, cada letra com os seus limites, e confere trocando a ordem.