Limite é perguntar pra onde a conta está indo quando a entrada chega perto de um valor — mesmo que, exatamente naquele valor, a conta quebre.
A conta que quebra no ponto
Olha esta máquina:
Em x = 2 ela dá 0 ÷ 0: a máquina trava. Mas em 1,9 ela dá 3,9, e em 2,1 dá 4,1. Chegando cada vez mais perto, pelos dois lados, a saída encosta no 4. O limite é 4, mesmo com um furo bem no ponto.
Chegando perto do furo
arrasta pra aproximar · o ponto violeta vem pela esquerda, o laranja pela direita
Por que dá 4: fatorar e cortar
x² − 4 é (x − 2)(x + 2). O pedaço (x − 2) aparece em cima e embaixo, e fora do ponto 2 ele pode ser cortado. Sobra x + 2, que em 2 vale 4. O corte só vale porque o limite nunca usa o ponto exato — só os vizinhos.
cálculo completo · o limite de (x² − 9) ÷ (x − 3) quando x vai pra 3
- O que eu quero saber
Pra onde vai (x² − 9) ÷ (x − 3) quando x chega perto de 3.
- O que eu já sei
- substituir direto dá 0 ÷ 0 — sinal pra fazer mais conta
- a² − b² = (a − b)(a + b)
- Passo 1 · fatorar
x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
- Passo 2 · cortar
(x − 3)(x + 3) ÷ (x − 3) = x + 3 (pra x ≠ 3)
- Passo 3 · substituir
3 + 3 = 6
o limite é 6
Confere: em x = 3,001: (9,006001 − 9) ÷ 0,001 = 6,001 ✓ · em 2,999: 5,999 ✓
Deu 0 ÷ 0, então escrevi que o resultado era 0.
0 ÷ 0 não é zero nem “não existe”: é uma indeterminação, um aviso de que a conta direta não decide. A resposta pode ser 4, 6, qualquer número — só fatorando ou chegando perto é que se descobre.
Na bancada: o valor que ele nunca passa
Um capacitor carregando por um resistor segue v(t) = 12 · (1 − e−t). Com 1 s marca 7,6 V; com 5 s, 11,9 V. Ele nunca chega a 12 V em tempo nenhum, mas o limite quando t vai pro infinito é 12 V — é o número que o técnico espera ver no multímetro depois de um tempo.
E tem limite que não é número: 1 ÷ x com x chegando em 0 pela direita cresce sem parar. Aí se diz que vai pro infinito — a conta dispara, como corrente num curto.
- o limite de (x² − 1) ÷ (x − 1) com x → 1
- o limite de 2x + 1 com x → 5
- o limite de (x² + 3x) ÷ x com x → 0
- o limite de 10 · (1 − e−t) com t → ∞
- o limite de (x² − 4) ÷ (x + 2) com x → −2
ver as respostas
2 · 11 (não quebra, é só substituir) · 3 · 10 · −4Limite é olhar os vizinhos, não o ponto. 0 ÷ 0 é aviso pra fazer mais conta: fatora, corta e substitui. É a peça que a derivada inteira usa por baixo.