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Cálculo 2 aula 16 som · sinal · vibração

Série de Fourier: a onda quadrada feita de senos

Uma onda quadrada tem cantos vivos. Um seno é a curva mais lisa que existe. E mesmo assim dá pra montar a primeira somando só a segunda.

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a fórmula da aula
\[ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos nx+b_n\operatorname{sen}nx\big) \]
em uma frase

Toda função periódica razoável é uma soma de senos e cossenos de frequências múltiplas da fundamental. Os coeficientes dizem quanto de cada frequência a função tem.

§ 16.1 · a ideia

A soma que imita um canto vivo

A onda quadrada de período \(2\pi\) vale \(1\) entre \(0\) e \(\pi\) e \(-1\) entre \(-\pi\) e \(0\). A série dela tem só senos, e só os de índice ímpar:

\[ f(x)=\frac4\pi\left(\operatorname{sen}x+\frac{\operatorname{sen}3x}{3}+\frac{\operatorname{sen}5x}{5}+\cdots\right) \tag{16.1} \]

Cada termo novo corrige o erro dos anteriores: arredonda menos os cantos e aplaina mais o topo. Mexa no desenho e veja.

figura 16.1 · interativa Somar senos até virar a onda Escolha a onda e aumente os harmônicos. Em cima, a onda (cinza) e a soma (laranja); embaixo, o tamanho de cada harmônico.
harmônicos até n = {{ n }}
−2π −π 0 π 2π
{{ caption }}
§ 16.2 · os coeficientes

Como achar os coeficientes

Para uma função de período \(2\pi\), cada coeficiente é uma integral:

\[ a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx \tag{16.2} \]
\[ b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\operatorname{sen}nx\,dx \tag{16.3} \]

A razão de funcionar é a ortogonalidade:

\[ \int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}mx\,\operatorname{sen}nx\,dx=\begin{cases}0, & m\ne n\\ \pi, & m=n\end{cases} \tag{16.4} \]

O mesmo vale para os cossenos, e seno com cosseno dá sempre zero. Multiplicar a série inteira por \(\operatorname{sen}nx\) e integrar apaga todos os termos, menos o \(b_n\pi\). O \(\tfrac12\) no \(a_0\) é só para a mesma fórmula servir também para \(n=0\).

§ 16.3 · cálculo completo

Os coeficientes da onda quadrada

  1. 1
    Os cossenos somem de graçaA onda é ímpar e o cosseno é par: o produto é ímpar e integra a zero. Logo \(a_n=0\), inclusive \(a_0\).
  2. 2
    O seno: o produto é par, dobro a metade
    \[ b_n=\frac2\pi\int_0^{\pi}\operatorname{sen}nx\,dx=\frac{2}{n\pi}\big(1-\cos n\pi\big) \tag{16.5} \]
  3. 3
    Usar \(\cos n\pi=(-1)^n\)
    \[ b_n=\begin{cases}0, & n\ \text{par}\\[2pt] \dfrac{4}{n\pi}, & n\ \text{ímpar}\end{cases} \tag{16.6} \]
resultado\(b_1=\tfrac4\pi\approx1{,}273,\ b_3=\tfrac4{3\pi},\ b_5=\tfrac4{5\pi},\dots\)
✓ confereA integração numérica de \(b_1,b_2,b_3,b_5\) bate com a fórmula até a sexta casa. Repare: \(b_1\approx1{,}27\gt1\): o primeiro seno passa do topo, e os seguintes puxam de volta.
§ 16.4 · cálculo completo

O dente de serra, f(x) = x

  1. 1
    Também é ímpar: só senos
    \[ b_n=\frac2\pi\int_0^{\pi}x\,\operatorname{sen}nx\,dx \tag{16.7} \]
  2. 2
    Por partes: \(u=x\), \(dv=\operatorname{sen}nx\,dx\)
    \[ \int x\,\operatorname{sen}nx\,dx=-\frac{x\cos nx}{n}+\frac{\operatorname{sen}nx}{n^2} \tag{16.8} \]
  3. 3
    Nos limites de 0 a π
    \[ b_n=\frac2\pi\cdot\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right)=\frac{2(-1)^{n+1}}{n} \tag{16.9} \]
resultado\(x=2\big(\operatorname{sen}x-\tfrac{\operatorname{sen}2x}{2}+\tfrac{\operatorname{sen}3x}{3}-\cdots\big)\)
✓ confereEm \(x=\pi/2\): \(2\big(1-\tfrac13+\tfrac15-\cdots\big)=2\cdot\tfrac\pi4=\tfrac\pi2\). De brinde, a série de Leibniz para \(\pi/4\).
! cuidadoA reta vai até \(\pi\), mas nas pontas \(x=\pm\pi\) todo \(\operatorname{sen}nx\) vale \(0\), e a série dá \(0\). É a média do salto: a função chega em \(\pi\) por um lado e recomeça em \(-\pi\) do outro, e \(\tfrac{\pi+(-\pi)}2=0\) (§ 16.5). Quem põe \(x=\pi\) esperando \(\pi\) acha \(\pi=0\) e pensa que errou a conta; a conta está certa, o ponto é que é especial.
§ 16.5 · convergência

Quando a série converge, e o pico que não some

1Onde a função é contínua e suave por partes, a série converge para o valor da função.
2Num salto, converge para a média dos dois lados: a onda quadrada em \(x=0\) vale \(0\) na série: nem \(1\), nem \(-1\).
3Perto do salto, a soma parcial passa do valor e forma um pico. Com mais termos ele estreita, mas não diminui: fica em ~9% do salto. É o fenômeno de Gibbs; na onda quadrada, o pico chega a \(\approx1{,}179\).
§ 16.6 · cálculo completo

Parseval, e uma soma famosa de brinde

  1. 1
    A identidade de Parseval
    \[ \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f^2\,dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n^2+b_n^2\big) \tag{16.10} \]
  2. 2
    Lado esquerdo\(f^2=1\) em todo lugar, então \(\tfrac1\pi\cdot2\pi=2\).
  3. 3
    Lado direito
    \[ \sum_{n\ \text{ímpar}}\frac{16}{n^2\pi^2}=\frac{16}{\pi^2}\Big(1+\frac19+\frac1{25}+\cdots\Big) \tag{16.11} \]
  4. 4
    Igualar
    \[ 2=\frac{16}{\pi^2}S\ \Longrightarrow\ S=\frac{\pi^2}{8} \tag{16.12} \]
resultado\(1+\tfrac1{3^2}+\tfrac1{5^2}+\cdots=\tfrac{\pi^2}8\approx1{,}2337\)
✓ confereSomando um milhão de termos: \(1{,}23370\). E como os pares somam \(\tfrac14\) de tudo, \(\sum 1/n^2=\tfrac{\pi^2/8}{3/4}=\tfrac{\pi^2}6\).
§ 16.7 · engenharia

Por que isso é engenharia: harmônicos

Na série de uma onda de frequência \(f\), o termo \(n\) vibra a \(n\cdot f\): é o \(n\)-ésimo harmônico. A mesma nota num violão e numa flauta tem a mesma fundamental, com harmônicos em proporções diferentes. Na rede elétrica, uma corrente não senoidal carrega harmônicos que esquentam cabo e transformador sem entregar potência útil.

  1. 1
    Os tamanhos relativos\(b_n/b_1=1/n\): 3º harmônico, 33% da fundamental; 5º, 20%; 7º, 14%.
  2. 2
    A distorção harmônica total
    \[ \mathrm{THD}=\frac{\sqrt{b_3^2+b_5^2+\cdots}}{b_1}=\sqrt{\frac19+\frac1{25}+\frac1{49}+\cdots} \tag{16.13} \]
  3. 3
    Usar o Parseval
    \[ \frac19+\frac1{25}+\cdots=\frac{\pi^2}8-1\approx0{,}2337\ \Longrightarrow\ \mathrm{THD}\approx0{,}483 \tag{16.14} \]
resultadoonda quadrada: THD ≈ 48%

Por isso inversor de onda quadrada esquenta motor e faz barulho em aparelho. Compare: a onda triangular, com harmônicos caindo com \(1/n^2\), tem \(\mathrm{THD}=\sqrt{\pi^4/96-1}\approx12\%\). Canto vivo custa harmônico; quanto mais lisa a onda, mais rápido os coeficientes caem.

A mesma decomposição, feita num sinal medido, é o espectro: é o que o painel da sala de Vibração mostra quando separa a rotação do motor das outras frequências.

§ 16.8 · na prova

Os erros e a correção

✕ os erros de provaEsquecer o \(\tfrac12\) do \(a_0\). Calcular cossenos de função ímpar (ou senos de par). Integrar só de \(0\) a \(\pi\) sem usar a simetria. Dizer que a série vale \(1\) em \(x=0\). Dizer que o pico de Gibbs some.
✓ a correçãoAntes de integrar, olhe a simetria: ímpar → só senos; par → só cossenos (mais \(a_0/2\)). No salto, a série vale a média. Mais termos estreitam o pico, mas ele fica em ~9% do salto.
§ 16.9 · pra treinar

Exercícios

1A série de \(f(x)=|x|\) entre \(-\pi\) e \(\pi\)\(\tfrac\pi2-\tfrac4\pi\sum_{k\ge0}\tfrac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}\)
2A série de \(f(x)=x^2\) entre \(-\pi\) e \(\pi\), e o que ela dá em \(x=\pi\)\(\tfrac{\pi^2}3+4\sum\tfrac{(-1)^n\cos nx}{n^2}\); em \(x=\pi\): \(\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}6\)
3A série da onda quadrada em \(x=0\) e em \(x=\pi/2\)\(0\) (média do salto) e \(1\)
4O 5º harmônico da onda quadrada, em % da fundamental\(1/5=20\%\)
5A THD da onda triangular\(\sqrt{\pi^4/96-1}\approx12{,}1\%\)
pra levar

Função periódica = soma de senos e cossenos. A ortogonalidade dá os coeficientes; a simetria corta metade da conta. No salto, a série dá a média. Os coeficientes são os harmônicos: o espectro de som, sinal e vibração.

Cálculo 2 · aula 16 · explicação, contas, desenho e exercícios escritos para o site; todos os números conferidos numericamente